Berechnung der Standardabweichung

Die Berechnung und Interpretation der Standardabweichung soll am folgenden Beispiel veranschaulicht werden.

Stellen wir uns vor, wir bitten eine Personen A darum, eine Woche lang ihre t�gliche Schlafdauer zu dokumentieren. Nachdem wir die Daten erhalten haben, m�chten wir das Schlafmuster von Person A ein bisschen genauer betrachten. Uns interessiert vor allem die Frage nach der Homogenit�t des Schlafmusters: Sind sich die Schlafdauern �ber den gemessenen Zeitraum �hnlich oder schwanken sie sehr stark?
Um dies festzustellen, reicht die Berechnung des Mittelwerts alleine nicht aus. Wir ben�tigen noch Informationen zur Streuung der Daten. Erst diese sagt uns, ob wir den Mittelwert als zuverl�ssigen Erwartungswert betrachten d�rfen. Unser Ziel ist daher also, die Standardabweichung zu berechnen.
Anmerkung: Bei der Berechnung sind die Kommazahlen auf die zweite Nachkommastelle gerundet.


Person A legt uns nach einer Woche folgende Daten vor:

Tag	Schlafdauer (h)
1	6
2	7
3	7,5
4	6,5
5	7,5
6	8
7	6,5

Prinzipiell ben�tigt man zur Berechnung der Standardabweichung folgende Werte: Mittelwert und Varianz.
Aus diesem Grund vollzieht sich die Berechnung in drei Schritten:

(1) Berechnung des arithmetischen Mittels

Die Berechnung des Mittelwerts (= Erwartungswert der Verteilung) erfolgt �ber die Summierung der einzelnen Schlafdauern und die anschlie�ende Teilung durch die Anzahl der Tage.


Hierbei ergibt sich ein Mittelwert X(A) = 7.

(2) Berechnung der Varianz

Die Berechnung der Varianz erfolgt �ber die Mittelung der summierten Abweichungsquadrate der einzelnen Schlafdauern vom Mittelwert.


Dies ergibt eine Varianz s�(A) = 0,43.

Zu beachten ist hierbei, dass die Varianz nicht in der selben Einheit vorliegt wie die urspr�nglichen Datenwerte. �ber das Ma� der Varianz ist eine Interpretation der Streuung der Daten also nicht sinnvoll. Um diese Interpretierbarkeit zu erm�glichen, wird im dritten Schritt die Standardabweichung berechnet.

(3) Berechnung der Standardabweichung

Die Standardabweichung ergibt sich aus der Quadratwurzel der Varianz.


F�r unser Beispiel erhalten wir eine Standardabweichung von s(A) = 0,66.

(4) Interpretation der Standardabweichung

Die durchschnittliche Abweichung der Person A von ihrem Schlafdauermittelwert von 7h betr�gt 0,66h.
Wir haben es hierbei also mit einer Person zu tun, die ein relativ homogenes Schlafmuster (gepr�gt von �hnlichen Schlafdauern) innerhalb der dokumentierten Zeit aufweist, da ihre Schlafdauer im Mittel nur um etwa eine gute halbe Stunde vom Gesamtmittelwert abweicht.

Wie steht es um den Vergleich zweier Datens�tze anhand ihrer Standardabweichungen?

Wir haben gerade gesehen, wie man die Standardabweichung f�r einen gegebenen Datensatz berechnet.
Interessant wird es, wenn der Vergleich zweier Datens�tze anhand des Kriteriums der Standardabweichung erfolgen soll. Hierbei zeigt sich die Bedeutung der Standardabweichung als Ma� f�r die Repr�sentativit�t eines Mittelwerts.

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